Rimuoviamo i Quaternioni da ogni motore 3D

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Rimuoviamo i Quaternioni con tutti spinta 3D (Un'proemio interattiva ai rotori dall'algebra geometrica) – Marc ten Bosch


(Un'proemio interattiva arotoridall'algebra geometrica)Marc ten Bosch

La definizione di più chiara dell'algebra geometrica 3D 15 minuti cosa ho approvazione – BrokenSymmetry

Sono venduto. possa capire i quaternioni quanto a una certa estensione, questo metodo su fantasticare è un approccio parecchio di più naturale ed signorile.– Rasksilver

Questo stabilisce normale austero durante l'istruzione armamentario, ed è un geniale modello su come mai possiamo innalzare l'istruzione a proposito di le tecnologie su stasera.– Sebastien Pierre

Mentre ero al college, ho chiesto a dei miei professori su talché il moltiplicazione incrociato su paio vettori si traduce quanto a un vettore ortogonale la cui onori è medesimo all'regione del parallelogramma dai paio vettori. Impronta affare? Interrogativo? E il 2D? Mi hanno lasciato senza autorizzazione voce, e questa è stata una grosso banda del ragione durante cui ho dismesso su prendere di mira la al college. […] Ad tutti metodo, avevo in realtà rinunciato a capire nondimeno l'retto accozzaglia su tipi da fuori correlati cosa sono prodotti incrociati. Invece inoltre ho approvazione questo: E … wow. 15 minuti e parecchio di più su un inesperto moltiplicazione incrociato estemporaneamente hanno parecchio di più sensibilità.– Mason Remaley

 

Personificare I programmatori grafici delle rotazioni 3D usanoQuaternioni. Ciononostante,I quaternioni vengono insegnati al eroismo nominale. Accettiamo soletto le strane tabelle su e Seo marketing definizioni arcane e le usiamo come mai scatole nere cosa ruotano i vettori nel metodo cosa desideriamo. Interrogativo $ mathbf {i} ^ 2= mathbf {j} ^ 2= mathbf {k} ^ 2=-1 $ e $ mathbf {i} mathbf {j}= mathbf {k} $? Interrogativo prendiamo un vettore e quello aggiorniamo a un vettore “apparente” durante trasformarlo, come mai $ mathbf {q} (x mathbf {i} + y mathbf {j} + z mathbf {k}) mathbf {q} ^ {*} $? Chi se in accordo di quello massaggio ruota i vettori nel metodo conforme, conforme?

A viva voce, L'ho continuamente trovatoserio durante rendersi conto di in realtà le averi cosa sto usando. Rievocazione su aver appreso su Traversone Products e Quaternions e su esistenza classe incerto sul talché funzionassero quanto a questo metodo, incertezza nemmeno uno di quello ha vivo. ho imparato a comprendereAlgebra geometricae estemporaneamente ho potuto vederlo le domande cosa avevo erano legittime e tutto a un tratto divenne parecchio di più luce.

A causa di preciso Algebra c'è un metodo durante fungere le rotazioni chiamato aRotorechegeneralizzaQuaternioni (quanto a 3D) e complessi (quanto a 2D) e funziona quandanche quanto a cifra su dimensioni.

Rotori 3D sono quanto a un innegabile sensibilitàla fede schemasu quaternioni, ovvero quanto a altre chiacchiere i quaternioni sono unannebbiatotraduzione dei rotori. Sono equivalenti quanto a questo:

    • hanno quello perfino cifra su componenti,Earth-Centric planetary motion
    • la API è la stessa,Earth-Centric planetary motion
    • sono efficienti,Earth-Centric planetary motion
    • sono utili durante l'interpolazione e durante eludere il massa del gimbal, ecc …
    • quanto a vita, sono isomorfi,

    indi è credibile eseguire un po ‘su durante camuffare un rotore quanto a un quaternione,incertezza farlo i rende la minor cosa generali e la minor cosa intuitivi(e perde valore extra).

    Invece invece di su caratterizzare i Quaternioni dal niente e andare in cerca su disciogliere come mai funzionanoquanto a metodo retroattivo, è credibile disciogliere i Rotoripoco più che del tutto con sparare a zero. Questo chiaramente richiede di più dare tempo al tempo, incertezza trovo cosa di quello valga la stento talché i rende parecchio di più facili con rendersi conto di!

      Earth-Centric planetary motion

    Ad modello, i Quaternioni vengono introdotti come mai questo strano soggetto quadridimensionale, incertezza talché incominciare una quarta formato dello distanza durante immaginare un concepimento 3D? Diversamente, i rotori 3D richiedono l'costumanza su una quarta formato dello distanza durante esistenza visualizzati.

    Provando a immaginare i quaternioni come mai operanti quanto a 4D soletto durante disciogliere le rotazioni 3D è un po ‘come mai andare in cerca su rendersi conto di il convulsione planetario con una gradazione centrata sulla paese, smoderatamente tortuoso talché quello stai guardando dal parere .

    Sarebbe esistenza solenne se in accordo potessimo attaccare a escludere a poco a poco l'costumanza e l'lezione dei Quaternioni e sostituirli a proposito di i Rotori. Il passaggio è inesperto eilcodicerimane poco più che quello perfino, incertezza la intelligenza cresce parecchio.

    Modo un segno a labbro, l'algebra geometrica contiene di più su un inesperto rotore ed è meccanismo parecchio resa con provare nella propria musicassetta degli attrezzi. Questo oggetto serve quandanche come mai proemio ad essi.

    1. (Nel consecutivo oggetto, tutti è interattivo. Il televisione segue l'oggetto e puoi spingere il durante ritrarre la relativa reparto del televisione. Diversamente, è credibile spingere il

      durante capitare alla reparto dell'oggetto cosa corrisponde a ciò cosa il televisione sta riproducendo quanto a questo circostanza. È credibile amplificare la apertura durante provare di più distanza durante il televisione ovvero spingere il durante impostarlo su una formato fissa.)

      Planes of Rotations

      Le rotazioni avvengono quanto a piani 2D

      A causa di 3D , usualmente pensiamo cosa le rotazioni avvengano ad un tavola, come mai una ruota cosa gira al di esse tavola, incertezza invece di su fantasticare all'tavola un metodo di più legittimo è come su fantasticare al adagio su cui si trova la ruota, ortogonale all'tavola.

      Old Lady shows off rotations

      Questa vecchia dama gira la ruota sul adagio $ mathbf {xz} $, ortogonale all'tavola $ mathbf {y} $.

      Questo è talché se in accordo dividiamo un vettore quanto a paio pezzi, cosa giace all'intrinseco del adagio ($ mathbf {v} _ parallel $) e cosa giace di fuori dal adagio ($ mathbf {v} _ perp $), la turno ruota il banda interna mantenendo la stessa banda esterna.

    2. quanto a il adagio $ yx $ [Drag anywhere to move the sala]

    3. A causa di 2D c'è un soletto adagio quanto a cui girare (c'è fuori banda). , conteggiare le rotazioni cosa avvengono a un terzo tavola (ortogonale al adagio 2D) è tecnicamente sbagliato, perché dovremmo aver urgenza su incominciare un'altra formato durante cantare le rotazioni.

      Se dio vuole tu ha raccontato a un “flatlander” 2D (cosa vive all'intrinseco su un adagio 2D e ha continuamente perito soletto 2D) su un tavola su turno ortogonale cosa ti guarderebbero e chiederanno “quale parte cima l'tavola? Né riesco a immaginarlo!”

      A doppio senso chiaramente espresso della turno

      Oltre a questo , mentre si pensa alla turno ad un tavola, il sensibilità della turno è distinto, e indi deve esistenza distinto convenzionalmente (corso la cosiddetta “legge della contributo “).

      Ciononostante, se in accordo pensiamo cosa le rotazioni avvengano all'intrinseco dei piani, il sensibilità è luce: la turno nel adagio $ mathbf {xy} $ indica una turno cosa sfondare una porta aperta il vettore (dose) $ mathbf {x} $ al vettore (dose) $ mathbf {y} $, all'intrinseco del adagio cosa formano catasta. La turno nel adagio $ mathbf {yx} $ è la turno opposta: prende il vettore $ mathbf {y} $ dal vettore $ mathbf {x} $.

      bivettori

      Il moltiplicazione fuori

      Ipotizzare l'tavola su turno durante girare un vettore $ mathbf {a} $ su un nuovo vettore $ mathbf {b} $, prendiamo il moltiplicazione incrociato dei paio vettori durante procurarsi un vettore ortogonale ad . Invece talché “consentire” il adagio, perché una turno è una affare 2D?

      Invece di prendi come cosa viene chiamato il moltiplicazione fuori(chiamato quandanche moltiplicazione fuori ovvero a proposito di superfluità) dei paio vettori, costruendo un in buono stato modulo chiamato un bivector (ovvero 2-vector) $ mathbf {B} $ cosa rappresenta il adagio cosa i paio vettori formano catasta. Se dio vuole il moltiplicazione incrociato crea il vettore naturalenaturalesu un adagio, il moltiplicazione fuori crea iladagio perfino. Sopportare il naturale sul adagio è assente.

    4. $$ mathbf {B}= mathbf {a} wedge mathbf {b} $$

      $ mathbf {B} $ può esistenza rappresentato come mai parallelogramma protetto dai vettori $ mathbf {a} $ e $ mathbf {b} $, nel adagio cosa formano catasta.

      L'pensiero su un bivettore potrebbe assomigliare un po ‘singolare all'incipit, incertezza sono in realtàprincipale in quale misura i vettori, come mai vedremo. Se dio vuole un vettore è come mai una principio, un bivettore è come mai un adagio … Le terra del moltiplicazione fuori sono adatte durante fermare le terra dei piani.

      Radice durante bivettori

      I bivettori hanno componenti, niente affatto come mai i vettori. Invece sono definiti quanto a termini su alcalepianiinvece di la alcaleLineecome mai i vettori.

    5. I tre i piani su alcale ortogonali sono $ mathbf {x} wedge mathbf {y} $, $ mathbf {x} wedge mathbf {z} $ e $ mathbf {y} wedge mathbf {z} $, come mai approvazione nel a .

    6. Invece dianzi diamo un'strizzata d'occhio al evento 2D di più inesperto …

    7. Bivettori 2D

      A causa di 2D c'è soletto un adagio, il adagio $ mathbf {xy} $. Successivamente un bivector 2D ha soletto un membro. Come un bivettore innaturale con vettori $ mathbf {a} $ e $ mathbf {b} $, questo cifra $ B_ {xy} $ è medesimo all'regione (firmata) del parallelogramma cosa i paio vettori formano catasta.

      $$ mathbf {B}= mathbf {a} wedge mathbf {b}=B_ {xy} ( mathbf {x} wedge mathbf {y}) $$

      Puoi rischiare a proposito di un bivettore 2D nel consecutivo interattivo, regolando i vettori (dose) con cui è complesso:

      Puoi vedi cosa cambiando l'spigolo fra i vettori cambia l'regione del parallelogramma ( il utero dell'spigolo).

      Se dio vuole la i vettori sono uguali ovvero, se in accordo sono paralleli, formano un adagio e il prodotto è sparare a zero. Questa inesperto terra definisce cos'è un bivettore:

      $$ mathbf {a} wedge mathbf {a}=0 $$

      Guardando alla essenzialità su paio vettori, possiamo giudicare cosa questa terra implica in quale misura segue:

      $$ begin {eqnarray} ( mathbf {a} + mathbf {b}) wedge ( mathbf {a } + mathbf {b}) &=& 0 mathbf {a} wedge mathbf {a} + mathbf {b} wedge mathbf {a} + mathbf {a} wedge mathbf {b} + mathbf {b} wedge mathbf {b } &=& 0 mathbf {b} wedge mathbf {a} + mathbf {a} wedge mathbf {b} &=& 0 End {eqnarray} $$

      Allora:

      $$ mathbf {a} wedge mathbf {b}=- mathbf {b} wedge mathbf {a } $$

      Elegante come mai il sensibilità su una turnoè serio, l'direttiva degli argomenti al moltiplicazione fuori è serio. Rendere argomenti cambia il atto del prodotto (questo si chiama “anti-simmetrico”).

      Nel , il atto è rappresentato usando il sfumatura, cosa cambia con azzurro a terreo. Il atto cambia tutti rotazione cosa la turno con $ mathbf {a} $ a $ mathbf {b} $ passa con esistenza quanto a sensibilità orario ad esistenza quanto a sensibilità antiorario ( se in accordo corrisponde a ($ mathbf {x} $ a $ mathbf {y} $) ovvero la parte ($ mathbf {y} $ a $ mathbf {x} $)).

      Puoi guarda come mai le terra del moltiplicazione fuori sono adatte durante fermare le terra su piani e rotazioni.

      Bivettori 2D con vettori unitari

      I vettori chiaramente devono esistenza lunghezze unitarie e quanto a questo la costrizione viene rimossa:

      Il l'regione del parallelogramma è corrispondente alle lunghezze su i vettori: $ B_ {xy}=sin ( alpha) | a | | b | $ $ alpha $ è l'spigolo capito fra $ mathbf {a} $ e $ mathbf {b} $. Successivamente, ad modello, il raddoppio della durata su un vettore raddoppia l'regione.

    8. possiamo ottieni il eroismo fastoso inserendo i vettori nella schema membro:

    9. $$ begin {eqnarray} mathbf {a} wedge mathbf {b} &=& (a_x mathbf { x} + a_y mathbf {y}) wedge (b_x mathbf {x} + b_y mathbf {y})  &=& a_x b_x ( mathbf {x} wedge mathbf {x}) + a_x b_y ( mathbf {x} wedge mathbf {y}) + a_y b_x ( mathbf {y} wedge mathbf { x}) + a_y b_y ( mathbf {y} wedge mathbf {y})  &=& a_x b_y ( mathbf {x} wedge mathbf {y}) + a_y b_x ( mathbf {y} wedge mathbf {x})  &=& a_x b_y ( mathbf {x} wedge mathbf {y}) – a_y b_x ( mathbf {x} wedge mathbf {y})  &=& (a_x b_y – a_y b_x) ( mathbf {x} wedge mathbf {y}) End {eqnarray} $$

      $$ B_ {xy}=a_x b_y – b_x a_y $$

      Bivettori 3D

      Elegante come mai le coordinate su un vettore $ mathbf {v} $ possono esistenza pensate come maiproiezionidel vettore su tre basi ortogonali assi ($ mathbf {x}, mathbf {y}, mathbf {z} $), le coordinate su un bivettore $ mathbf {B} $ possono esistenza pensate come mairisaltidel minuto adagio sui tre piani su alcale ortogonali.

    10. Le proiezioni del vettore sono le lunghezzesu quel vettore tardo ciascun vettore su alcale, laddove le proiezioni del bivettore sono lele zonedel adagio su ciascun adagio su alcale.

      Come un vettore:

    11. $$ mathbf {v}= bbox [5px,border-bottom:2px solid red] {v_x} mathbf {x} + bbox [5px,border-bottom:2px solid green] {v_y} mathbf {y} + bbox [5px,border-bottom:2px solid blue] {v_z} mathbf {z} $$

      Come un bivector:

    12. $$ mathbf {B}= bbox [5px,border-bottom:2px solid coral] {B_ {xy}} ( mathbf {x} wedge mathbf {y}) + bbox [5px,border-bottom:2px solid gold] {B_ {xz}} ( mathbf {x} wedge mathbf {z}) + bbox [5px,border-bottom:2px solid DarkViolet] {B_ {yz}} ( mathbf {y} wedge mathbf {z}) $$

      Nel luogo in cui $ B_ {xy}, B_ {xz}, B_ {yz} $ sono soletto come mai $ v_x, v_y, v_z $ (sono sottolineati durante binare i del ).

      I componenti su un bivettore 3D sono soletto le tre proiezioni 2D del bivettore sui piani su alcale 2D.

      Usando il perfino legge su dianzi troviamo cosa i proprietà effettivi dei componenti assomigliano parecchio al membro XY del evento 2D, incertezza applicati a tutti e tre i piani:

      $$ B_ {xy}=a_x b_y – b_x a_y $$

      $$ B_ {xz}=a_x b_z – b_x a_z $$

      $$ B_ {yz}=a_y b_z – b_y a_z $$

      Puoi gioca a proposito di un bivettore 3D nel consecutivo interattivo:

      Fa il moltiplicazione fuori ti ricordi qualcosa? A causa di 3D, la conclusione del moltiplicazione fuori è parecchio consimile a quella del moltiplicazione incrociato. Proprio così, quanto a 3D un vettore cosa proviene con un moltiplicazione incrociato (come mai un vettore naturale) avrà tre componenti cosa sono uguali ai componenti del bivettore (i sono stessi, incertezza la alcale è diversa).

      $$ begin {eqnarray} mathbf {a} wedge mathbf {b} &=& & (a_x b_y – b_x a_y) ( mathbf {x} wedge mathbf {y})  & & + & (a_x b_z – b_x a_z) ( mathbf {x} wedge mathbf {z})  & & + & (a_y b_z – b_y a_z) ( mathbf {y} wedge mathbf {z})     mathbf {a} times mathbf {b} &=& & (a_x b_y – b_x a_y) mathbf {z}  & & – & (a_x b_z – b_x a_z) mathbf {y}  & & + & (a_y b_z – b_y a_z) mathbf {x} end {eqnarray} $$

       

      La conclusione del bivettore ha sensibilità geometricamente, invece di su sembrare dal niente.Rievocazione su aver pensato mentre stavo imparando il moltiplicazione incrociato, talché restituisce un vettore cosa ha durata medesimo all'regione del parallelogramma dai paio vettori? Sembra similmente illecito. E talché ti sarebbe autorizzazione su rotolare l'regionedel parallelog ram nella duratadel vettore?

       

      Semantica su vettori e bivettori

      A causa di 3D , un bivector ha tre coordinate, una durante adagio: ($ mathbf {xy} $, $ mathbf {xz} $ e $ mathbf {yz} $). I vettori hanno quandanche tre coordinate, una durante tavola ($ mathbf {x} $, $ mathbf {y} $ e $ mathbf {z} $). Ciascuno adagio è ortogonale a un tavola. Questa è una consonanza cosa si prova soletto quanto a tre dimensioni[…]ed è il ragionerealmente abbiamo incerto i bivettori a proposito di i vettori.

      A causa di organizzazione termini, hanno quello perfino layout su rimembranza, incertezza operazioni diverse. Adoperare un vettore 3D invece di su un bivettore 3D è come mai “sciogliersi” il bivettore.

      Improvvisamente un modello: potresti aver approvazione come mai i vettori normali si trasformano quanto a metodo diversamente relazione ai vettori normali, usando la “cambiamento inversa” della $ ( mathbf {M} ^ {T}) ^ {- 1} $ invece di della stessa. Questo talché sono sul serio vettori, incertezza quanto a vita bivettori, cosa abbiamo un “cast su bizzarro” durante i vettori. A causa di fisica, esiste un hack chiamato “vettore assiale”, cosa è classe addentro durante i vettori cosa provengono con prodotti incrociati con vettori regolari. Bivector è il certo “bizzarro” dell'soggetto e dovrebbe esistenza pensato e alterato come mai simile.

      Il moltiplicazione preciso

      Moltiplicare i vettori insieme

      Two Reflections is a Rotation: case 2D

      Gira se in accordo applichiamo paio riflessioni successive a $ mathbf {v} $ (usando il vettore $ mathbf {a} $ conseguenza dal vettore $ mathbf {b} $) otteniamouna turno del duplicato dell'spigolo fra i vettori $ mathbf {a} $ e $ mathbf {b} $.

      Puoi applica tutti successione su riflesso nel consecutivo:

      Puoi cambia quandanche i vettori $ mathbf {a} $, $ mathbf {b} $ e $ mathbf {v} $, incertezza la figura primigenio dei vettori nel (fai clic sul bottone “Ripristina posizioni vettoriali”) dovrebbe è molto luce il ragione durante cui la turno finisce durante esistenzapaio voltel'spigolo. Un'altra figura cosa è offesa è basare $ mathbf {a} $ e $ mathbf {b} $ sugli assi $ mathbf {x} $ e $ mathbf {y} $.

      Two Reflections is a Rotation: case 3D

      Nel Opportunità 3D il vettore $ mathbf {v} $ può esistenza quanto a paio parti diverse, una situata all'intrinseco del adagio distinto con $ mathbf {a} $ e $ mathbf {b} $ e una situata all'fuori (ortogonale a) l'aeroplano. Modo approvazione nel consecutivo, mentre il vettore viene effetto con ciascun adagio, la sua banda esterna rimane invariata. Successivamente, durante la banda interna, torniamo al evento 2D, e viene ruotato soletto su paio volte l'spigolo!

      Rotori

      A causa di termini del Preparato preciso, le paio riflessioni corrispondono onestamente a:

    13. $$ R _ { mathbf {b}} (R _ { mathbf {a}} ( mathbf {} v))=- mathbf {b} (- mathbf {a} mathbf {v} mathbf {a}) mathbf {b}= mathbf {b} mathbf {a} : mathbf {v} : mathbf {a} mathbf {b} $$

    14. chiamiamo $ mathbf {a} mathbf {b}= mathbf {a} cdot mathbf {b} + mathbf {a} wedge mathbf {b} $ a Rotore talché moltiplicando durante $ mathbf {a} mathbf {b} $ su i lati su un vettore eseguiamo una turno ($ mathbf {b} mathbf {a} $ medesimo a $ mathbf {a} mathbf {b} $ salvo durante il cosa la banda bivector è invertita ).

      Decorazione a Il rotore $ mathbf {a} mathbf {b} $ su i lati su un vettore ruota questo vettore nel adagio dei vettori $ mathbf {a} $ e $ mathbf {b} $ su paio volte l'spigolo fra $ mathbf {a} $ e $ mathbf {b} $.

      ✨⭐💖Questo è tutto a un tratto come cosa c'è con eseguire!💖⭐✨

      Rotori 3D vs Quaternioni

      possiamo segno cosa i Rotori 3D assomigliano parecchio ai Quaternioni:

    15. $$ a + B_ {xy} mathbf {x} wedge mathbf {y} + B_ {xz} mathbf {x} wedge mathbf {z} + B_ {yz} mathbf {y} wedge mathbf {z} $$

      $$ a + b mathbf {i} + c mathbf {j} + d mathbf {k} $$

      Proprio così il pandette / è quello perfino! La padrone è cosa $ mathbf {i} $, $ mathbf {j} $ e $ mathbf {k} $ vengono sostituiti con $ mathbf {y} wedge mathbf {z} $, $ mathbf { x} wedge mathbf {z} $ e $ mathbf {x} wedge mathbf {y} $, incertezza funzionano massimamente analogamente. Improvvisamente ilconfronto codici. Né ho accluso tutto a un tratto, come mai loch / exp durante l'interpolazione, incertezza sono facili con fare.

      Earth-Centric planetary motion

      Ciononostante, come mai abbiamo approvazione, i rotori 3D sono un concepimento 3D cosa richiede l'costumanza su “doppie rotazioni 4D” ovvero “trasferimento stereografica” durante la visualizzazione. Inseguire su immaginare i quaternioni come mai operanti quanto a 4D soletto durante disciogliere le rotazioni 3D è un po ‘come mai andare in cerca su rendersi conto di il convulsione planetario con una gradazione incentrata sulla paese, smoderatamente tortuoso talché quello stai guardando dal parere .

      Modo ho approvazione, fungere le rotazioni come mai esercitare all'intrinseco dei piani invece di ai vettori aiuta parecchio. Ad modello, i bivettori su alcale si quadrano a $ -1 $, niente affatto come mai i quaternioni su alcale ($ mathbf {i} ^ 2= mathbf {j} ^ 2= mathbf {k} ^ 2=-1 $):

      $$ ( mathbf {x} mathbf {y}) ^ 2=( mathbf {x} mathbf {y }) ( mathbf {x} mathbf {y})=- ( mathbf {y} mathbf {x}) ( mathbf {x} mathbf {y})=- mathbf {y} ( mathbf {x} mathbf {x}) mathbf {y}=- mathbf {y} mathbf {y}=-1 $$

      Moltiplicando paio i bivettori catasta disastro un terzo bivettore, incertezza questo è mediocre, e dobbiamo riesumare come mai $ mathbf {i} mathbf {j}= mathbf {k} $:

      $$ ( mathbf {x} mathbf {y}) ( mathbf {y} mathbf {z})= mathbf {x} ( mathbf {y} mathbf {y}) mathbf {z}= mathbf {x} mathbf {z} $$

      (Citazione cosa abbiamo pratico $ mathbf {x} wedge mathbf {y}= mathbf {x} mathbf {y} $)

      Queste terra sono una prodotto del moltiplicazione preciso invece di sembrare dal niente!

      Ulteriori letture

      (su Nell'occasione più adatta, Algebra geometrica contiene molte di più averi interessanti dei rotori!)

      • Algebra elementare e geometrica su Macdonald[Amazon Link]Website] ->

        Largo talché è parecchio luce e inesperto perché è destinato a scambiare un parte su libro su algebra elementare universitaria.

      • Algebra geometrica durante l'informatica su Dorst et al.[Amazon Link]Website] ->

        Largo talché preparare qualcosa di frequente ti fa rendersi conto di .

        Citazione: nel parte autori disastro l'convinzione cosa l'algebra geometrica sia di più lenta dei quaternioni (ecc …). A causa di vita dovrebbe esistenza poco più che quello perfino pandette ( il pandette Algebra geometrica creando una membratura generica cosa può circoscrivere tutti i possibili tipi su vettori k, basta una membratura durante bizzarro k-vettore, se in accordo opportuno. una membratura Bivector e una membratura Rotor cosa è Scemare + Bivector durante scambiare i Quaternioni).

    16. Improvvisamente alcune buone risorse:

      • Una frottola su valutazione vettorialesu Michael J. Crowe, 2002 [link]
      • Quaternioni: una frottola su complessi gruppi su turno commutativi nella fisica teoricasu Johannes C. Familton, 2015 [link]
      • Hamilton, Rodrigues e quello immoralità del Quaternionesu Simon L. Altmann, 1881 [link]
      • Wikipedia: Pretesto dell'algebra geometrica [link]
      • Wikipedia: Pretesto del Quaternione [link]
    17. Prestito

      Fuso conMarc ten Bosch. Se dio vuole ti è piaciuta questa affare combo televisione / oggetto, potresti valutaredonare.

      Leggi di più

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